تاریخ انتشار:
بازدید: 2614 بازدید

الگوریتم های فراابتکاری و بهینه‌سازی در متلب

فهرست مطالب

مقدمه:

الگوریتم های فراابتکاری و بهینه‌سازی در متلب به عنوان دو روش مهم در علوم کامپیوتر و مهندسی، امکان بهبود عملکرد و کارایی سیستم ها را فراهم می کنند. در این مقاله، به بررسی راهنمای فراابتکاری و بهینه‌سازی در محیط نرم افزاری متلب می پردازیم. این دو روش به طور گسترده ای در مسائل مختلفی مانند بهینه‌سازی توابع، طراحی سیستم ها، شبیه سازی های علمی و … استفاده می شوند.

مراحل اصلی الگوریتم های فراابتکاری در متلب:

یکی از مراحل اصلی الگوریتم های فراابتکاری در متلب، تعریف تابع هدف و محدودیت ها است. سپس، از الگوریتم های فراابتکاری مانند الگوریتم ژنتیک، الگوریتم تابع هدف، الگوریتم تابع هدف چند هدفه و … برای بهینه سازی تابع هدف استفاده می شود. در انتها، نتایج بهینه سازی بررسی و تحلیل می شوند تا بهترین راه حل برای مسئله مورد نظر به دست آید.

بهینه‌سازی پارامترها و توابع در متلب:

برای بهینه سازی پارامترها و توابع در متلب، می توان از الگوریتم های مختلفی مانند الگوریتم کوانتومی، الگوریتم تابع هدف چند هدفه، الگوریتم تابع هدف و … استفاده کرد. این الگوریتم ها به صورت خودکار و با استفاده از روش های هوش مصنوعی، بهینه سازی پارامترها و توابع را انجام می دهند.

دستورات برای اجرای برنامه های فراابتکاری  و جعبه ابزار بهینه سازی در متلب:

در متلب، برنامه‌های فرابتکاری و جعبه ابزار بهینه‌سازی باید با دقت اجرا شوند تا بهترین نتایج را برای مسائل مورد نظر ارائه دهند. توصیه می‌شود پس از نصب toolboxهای مورد نیاز، برای اجرای برنامه‌های فرابتکاری و بهینه‌سازی در متلب، دستورات زیر را دنبال کنید:

1. بارگذاری Toolbox مربوطه:

				
					   % برای بارگذاری Toolbox فرابتکاری
   addpath('path_to_toolbox_folder/');

   % برای بارگذاری Toolbox بهینه‌سازی
   addpath('path_to_optimization_toolbox_folder/');

2. تعریف توابع هدف و محدودیت‌ها:

برنامه‌های بهینه‌سازی نیاز به تعریف توابع هدف و محدودیت‌ها دارند. این توابع باید به شکل مناسبی در متلب تعریف شوند.

3. فراخوانی توابع بهینه‌سازی:

بعد از تعریف توابع، می‌توانید از توابع بهینه‌سازی موجود در Toolbox استفاده کنید. برای این کار می‌توانید از دستوراتی مانند fmincon (برای بهینه‌سازی محدودیت‌دار) یا fminunc (برای بهینه‌سازی بدون محدودیت) استفاده کنید.

4. اجرای بهینه‌سازی:

پس از تعریف توابع و فراخوانی توابع بهینه‌سازی، می‌توانید بهینه‌سازی را اجرا کنید تا بهترین جواب را برای مسئله خود بیابید.

5. نمایش و ذخیره نتایج:

پس از اجرای بهینه‌سازی، نتایج به دست آمده را می‌توانید نمایش دهید و در صورت نیاز آن‌ها را ذخیره کنید.

حال به دستورات الگوریتم های فراابتکاری  و جعبه ابزار بهینه سازی در متلب می پردازیم:

دستور eqnproblem:

دستور eqnproblem در جعبه ابزار بهینه‌سازی در محیط نرم‌افزار متلب برای ایجاد یک مسأله بهینه‌سازی ریاضی جدید استفاده می‌شود. این دستور به کاربر اجازه می‌دهد تا با تعریف یک تابع هدف و محدودیت‌های مسأله بهینه‌سازی، یک مسأله بهینه‌سازی سفارشی ایجاد کند.

برای تبدیل یک مسأله بهینه‌سازی به فرمتی که بتوان از موتور بهینه‌سازی MATLAB برای حل آن استفاده کرد، مراحل زیر را می‌توان دنبال کرد:

۱. تعریف تابع هدف: تعریف یک تابع که باید بهینه شود.
۲. افزودن محدودیت‌ها: تعریف محدودیت‌های مسأله بهینه‌سازی.
۳. انتخاب روش بهینه‌سازی: انتخاب روش مناسب بهینه‌سازی برای حل مسأله.
۴. حل مسأله: اعمال موتور بهینه‌سازی بر روی مسأله تعریف شده و بهینه‌سازی آن.
در زیر یک مثال ساده از استفاده از دستور eqnproblem به همراه توضیحات آن آمده است:
				
					% تعریف تابع هدف و محدودیت‌ها
fun = @(x) x(1)^2 + x(2)^2; % تابع هدف
lb = [-1, -1]; % حد پایین متغیرها
ub = [1, 1]; % حد بالای متغیرها

% ایجاد مسأله بهینه‌سازی
problem = eqnproblem('objective',fun,'x0',[0, 0],'lb',lb,'ub',ub);

% حل مسأله بهینه‌سازی
[x,fval] = solve(problem);
disp(['Optimal Solution: x = ', num2str(x)]);
disp(['Optimal Value: f(x) = ', num2str(fval)]);

در این مثال، یک تابع هدف ساده (جمع مربعات دو متغیر) تعریف شده و محدودیت‌های آن نیز مشخص شده است. سپس یک مسأله بهینه‌سازی با استفاده از دستور eqnproblem ایجاد شده و سپس با استفاده از solve، مسأله بهینه‌سازی حل شده و جواب بهینه و مقدار آن نمایش داده می‌شود.

دستور optimproblem:

دستور optimproblem در جعبه ابزار بهینه‌سازی متلب برای ایجاد یک مسأله بهینه‌سازی استفاده می‌شود. با استفاده از این دستور، می‌توانید متغیرها، توابع هدف، محدودیت‌ها و سایر پارامترهای مسأله بهینه‌سازی خود را مشخص کنید.
این دستور می‌تواند به شما کمک کند تا یک مسأله بهینه‌سازی را به شکل کدنویسی و در محیط متلب تعریف کنید و سپس آن را به سولور بهینه‌سازی متلب متصل کنید تا مسأله‌ی شما بهینه سازی شود.

 مثال کد متلب:

در ادامه یک مثال ساده از استفاده از optimproblem در متلب آورده شده است. در این مثال یک مسأله ساده بهینه‌سازی برای پیدا کردن مینیمم تابع f(x) = x^2 – 4x + 4 به کمک این دستور تعریف خواهد شد.
				
					% تعریف مسأله بهینه‌سازی
problem = optimproblem;

% تعریف متغیر
x = optimvar('x', 'LowerBound', 0);

% تعریف تابع هدف
f = x^2 - 4*x + 4;
problem.Objective = f;

% حل مسأله بهینه‌سازی
x0.x = 0; % مقدار اولیه برای x
[sol, fval] = solve(problem, x0);
disp(sol.x); % مقدار بهینه برای x
disp(fval); % مقدار بهینه تابع هدف

در این کد، ابتدا یک مسأله بهینه‌سازی جدید ایجاد شده و سپس یک متغیر (x) و یک تابع هدف (f) تعریف شده و به مسأله افزوده می‌شوند. در نهایت، با حل مسأله، مقدار بهینه برای x و مقدار بهینه تابع هدف چاپ می‌شود.

دستور optimvar:

دستور optimvar در محیط متلب، جز ابزارهای بهینه‌سازی قرار دارد و برای تعریف متغیر‌های بهینه‌سازی به کار می‌رود. این دستور به شما این امکان را می‌دهد که محدوده‌ها و ویژگی‌های مورد نیاز متغیرها را تعیین و تنظیم کنید.
 
با استفاده از optimvar، می‌توانید نوع متغیرها را مشخص کرده و محدوده‌های آن‌ها را تعیین کنید. به این ترتیب، می‌توانید بهینه‌سازی را بر روی این متغیرها اعمال کنید و به جستجوی بهینه‌ی مقدار آن‌ها بپردازید.

در زیر یک مثال از استفاده از optimvar در متلب آورده شده است:

				
					% تعریف مساله بهینه‌سازی
problem = optimproblem('ObjectiveLimit', 0);

% تعریف متغیرها و محدوده آن‌ها
x = optimvar('x', 'Type', 'continuous', 'LowerBound', 0, 'UpperBound', 10);
y = optimvar('y', 'Type', 'integer', 'LowerBound', -5, 'UpperBound', 5);

% افزودن متغیرها به مساله
problem.Objective = x^2 + y^2;
    
% تابع هدف
fun = @(x) x.Objective;

% حل مساله بهینه‌سازی
[sol, fval] = solve(problem);

disp(['مقدار بهینه تابع هدف: ' num2str(fval)]);
disp(['مقدار بهینه x: ' num2str(sol.x)]);
disp(['مقدار بهینه y: ' num2str(sol.y)]);

در این مثال، دو متغیر بهینه‌سازی x و y تعریف شده‌اند، هر یک با محدوده‌های مشخص. سپس یک تابع هدف به صورت x^2 + y^2 تعریف شده است و مقادیر بهینه‌ی x و y همراه با مقدار بهینه‌ی تابع هدف چاپ می‌شود.

دستور show:

در محیط متلب، دستور show یکی از دستورات مربوط به جعبه ابزار بهینه‌سازی (Optimization Toolbox) است. این دستور برای نمایش جزئیات از جواب بهینه بعد از اجرای یک مسئله بهینه‌سازی استفاده می‌شود. این دستور برای تحلیل بهینه‌سازی و دسترسی به اطلاعات از نتایج بهینه‌سازی کاربرد دارد.

برای مثال، می‌توانید یک مسئله ساده بهینه‌سازی بسازید و سپس از دستور show برای نمایش جواب بهینه استفاده کنید.

				
					% مثال ساده یک بهینه‌سازی در متلب
fun = @(x) x^2 - 4*x + 4; % تابع هدف برای بهینه‌سازی (x-2)^2
x0 = 0; % حدس اولیه برای جواب

% حل مسئله بهینه‌سازی
options = optimoptions('fminunc','Display','iter');
[xOpt,fval,exitflag,output] = fminunc(fun, x0, options);

% نمایش جواب بهینه
show(fminunc)

در این مثال، ابتدا یک تابع هدف ساده به نام fun تعریف شده است. سپس یک حدس اولیه برای جواب x0 انتخاب می‌شود و مسئله بهینه‌سازی با استفاده از تابع fminunc حل می‌شود. در نهایت با استفاده از دستور show(fminunc) جواب بهینه و جزئیات آن نمایش داده می‌شود.

این دستور به شما کمک می‌کند تا اطلاعات ارزشمندی از فرایند بهینه‌سازی خود کسب کنید و راهنمایی‌های لازم را برای بهبود فرایند بهینه‌سازی خود دریافت کنید.

دستور showbounds:

دستور showbounds در جعبه ابزار بهینه‌سازی متلب، برای نمایش محدوده‌های متغیرهای مستقل استفاده می‌شود. این دستور مشخص می‌کند که متغیرهای مستقل باید در چه بازه‌ای از مقادیر خود قرار گیرند تا بهینه‌سازی مسئله‌ی مورد نظر انجام شود.

یک مثال ساده برای نحوه استفاده از دستور showbounds:

				
					% تعریف تابع هدف
fun = @(x) x(1)^2 + x(2)^2;

% تعریف محدوده متغیرها
lb = [-1, -1];  % حد پایین متغیرها
ub = [1, 1];    % حد بالا متغیرها

% نمایش محدوده متغیرها
opts = optimoptions('fmincon', 'Algorithm', 'interior-point');
opts.ShowBounds = 'on';  % نمایش محدوده‌های متغیرها
x = fmincon(fun, [0.5,0.5], [], [], [], [], lb, ub, [], opts);

در این مثال، ابتدا تابع هدف یعنی مجموع مربعات دو متغیر را تعریف کرده و سپس محدوده‌های متغیرها را با استفاده از آرایه‌های lb و ub تعیین می‌کنیم. با تعریف opts و تنظیم ShowBounds بر روی ‘on’، محدوده متغیرها نشان داده می‌شود. در این مثال، بهینه‌سازی تابع هدف با استفاده از fmincon به صورت محدود انجام شده و مقادیر بهینه متغیرها در x ذخیره می‌شود.

دستور writebounds:

دستور writebounds در جعبه ابزار بهینه‌سازی متلب یک دستور کمکی است که برای نوشتن حدود بالا و پایین (Upper and Lower Bounds) برای مشتقات نوشته شده در توابع هدف کاربرد دارد. این حدود برای استفاده در برنامه‌های بهینه‌سازی مثل الگوریتم‌های بهینه‌سازی تکاملی، الگوریتم‌های چند هسته‌ای و غیره، ضروری است تا بهینه‌سازی به سرعت و با دقت انجام شود.
 
زمانی که ما معنای writebounds را بهینه‌سازی می‌کنیم، باید ابتدا یک تابع هدف را تعریف کنیم، سپس مشتقات این تابع را محاسبه کرده و نهایتاً با استفاده از دستور writebounds حدود بالا و پایین برای این مشتقات را مشخص کنیم.

در زیر یک مثال ساده از استفاده از writebounds در محیط متلب آورده شده است:

				
					% تعریف تابع هدف و مشتقات
fun = @(x) x^2 - 4*x + 4;
gradient_fun = @(x) 2*x - 4;

% نوشتن حدود بالا و پایین برای مشتقات
x0 = 2; % نقطه شروع بهینه‌سازی
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = 0; % حد پایین
ub = 10; % حد بالا

% نوشتن حدود در فایل bounds.m
writebounds('bounds', x0, fun, gradient_fun, A, b, Aeq, beq, lb, ub);

در این مثال، ابتدا تابع هدف و مشتق آن تعریف شده، سپس با استفاده از دستور writebounds حدود بالا و پایین برای مشتق تعیین شده‌اند. این حدود می‌توانند برای بهبود عملکرد الگوریتم‌های بهینه‌سازی مورد استفاده قرار گیرند.

به عنوان مثال، اگر تابع هدف ما تابع مقعری باشد، اما می‌خواهیم بهینه‌سازی را با یک الگوریتم چند هسته‌ای انجام دهیم، استفاده از حدود برای مشتقات ممکن است به سرعت و دقت بهینه‌سازی کمک کند.

دستور fcn2optimexpr:

دستور fcn2optimexpr در جعبه ابزار بهینه‌سازی متلب برای تبدیل توابع بهینه‌سازی‌ای (optimization) به صورت ریاضی جبری استفاده می‌شود. این دستور به شما امکان می‌دهد یک تابع بهینه‌سازی را به شکل یک ترکیب آلجبرایی از متغیرهای توجه (decision variables) و پارامترها (parameters) تعریف کنید.

یک توضیح کامل و مثال برای استفاده از دستور fcn2optimexpr به صورت زیر است:

1. توضیح کامل:
   – ابتدا تابع بهینه‌سازی مورد نظرتان را تعریف می‌کنید.
   – سپس از دستور fcn2optimexpr برای تبدیل تابع بهینه‌سازی به شکل عبارتی جبری استفاده می‌کنید.
   – این عبارت جبری شامل متغیرهای توجه و پارامترها برای بهینه‌سازی است.
2. مثال:
   فرض کنید می‌خواهید تابع بهینه‌سازی زیر را تعریف کنید:
   $$f(x, y) = (x – 2)^2 + (y + 1)^2$$
   که در آن $x$ و $y$ متغیرهای توجه، و می‌خواهید $x$ و $y$ را بهینه‌سازی کنید.
حال، کد متلب زیر نشان می‌دهد چگونه از fcn2optimexpr استفاده کنید و نحوه استفاده از عبارت به دست آمده برای بهینه‌سازی با فرض یک مثال ساده:
				
					   % تعریف تابع بهینه‌سازی
   f = @(x, y) (x - 2)^2 + (y + 1)^2;

   % تبدیل تابع به شکل عبارتی جبری
   opt_expr = fcn2optimexpr(f);

   % تعریف متغیرهای توجه
   x = optimvar('x');
   y = optimvar('y');

   % تعریف مسئله بهینه‌سازی
   problem = optimproblem('Objective', opt_expr);

   % اضافه کردن محدودیت‌ها
   problem.Constraints.cons1 = x >= 0;
   problem.Constraints.cons2 = y <= 5;

   % حل مسئله بهینه‌سازی
   [sol, fval] = solve(problem);

   disp(sol.x);
   disp(sol.y);
   disp(fval);

در این مثال، تابع بهینه‌سازی $f(x, y)$ تعریف شده و به وسیله fcn2optimexpr به یک عبارت جبری تبدیل شد. سپس با تعریف متغیرها، مسئله بهینه‌سازی تعریف شده و با اعمال محدودیت‌ها و حل مسئله، بهینه‌سازی انجام شد و جواب و مقدار بهینگی محاسبه شد.

این نمونه کد متلب شما را قادر خواهد کرد تا با دستور fcn2optimexpr و نحوه استفاده از آن در مسائل بهینه‌سازی آشنا شوید.

دستور optimconstr:

دستور optimconstr در جعبه ابزار بهینه‌سازی متلب برای تعیین محدودیت‌های مسئله بهینه‌سازی مورد استفاده قرار می‌گیرد. این دستور برای تعریف شرایط و محدودیت‌های مختلفی که باید در مسئله بهینه‌سازی رعایت شوند از جمله محدودیت‌های تساوی، نامساوی، بینهایت، عددی و غیره استفاده می‌شود.

یک مثال ساده از استفاده از optimconstr در یک مسئله بهینه‌سازی با فرض یک مسئله بدون متغیر‌های فعال (target function) به شرح زیر است:

				
					% تعریف تابع هدف
fun = @(x) x^2;

% ایجاد شی Object Function
obj = optimproblem('Objective', fun);

% اضافه کردن محدودیت‌ها
constr1 = optimconstr(1, 'Type', '=', 'Value', 5);
constr2 = optimconstr(1, 'Bounds', [0, 10]);

% افزودن محدودیت‌ها به مسئله
obj.Constraints.constr1 = constr1;
obj.Constraints.constr2 = constr2;

% حل مسئله بهینه‌سازی
[x, fval, exitflag] = solve(obj);
disp(x);

در این مثال، ابتدا یک تابع هدف ساده مربوط به مربع یک متغیر تعریف شده است. سپس یک شی Object Function برای این تابع هدف ایجاد می‌شود و در نهایت دو محدودیت اضافه می‌شوند؛ یک محدودیت برای مقدار دقیق برابری با ۵ و یک محدودیت برای محدود بودن x در بازه [0, 10].

سپس با فراخوانی تابع solve، مسئله بهینه‌سازی حل شده و جواب بهینه و مقدار تابع هدف در این نقطه، به همراه exitflag که وضعیت حل مسئله را نشان می‌دهد، چاپ می‌شود.

این مثال بیان کننده استفاده از optimconstr در یک مسئله ساده بهینه‌سازی است. از این دستور برای تعیین محدودیت‌ها و ارتباط متغیرهای یک مسئله بهینه‌سازی استفاده می‌شود.

دستور fmincon:

دستور fmincon در جعبه ابزار بهینه‌سازی متلب برای حل مسائل بهینه‌سازی محدودیت‌دار (Constrained Optimization) استفاده می‌شود. این دستور به وسیله الگوریتم‌های بهینه‌سازی مانند Interior-Point, SQP (Sequential Quadratic Programming), و Active-Set و غیره، به جستجوی بهینه متغیرهای مساله با توجه به محدودیت‌ها می‌پردازد. 

در اینجا یک مثال ساده از استفاده از دستور fmincon در متلب برای حل یک مساله بهینه‌سازی خطی ارائه می‌دهم. در این مثال، ما قصد داریم تابع هدف f(x) = x1^2 + 3*x2^2 را با شرایط x1 + x2 = 2 و x1, x2 >= 0 بهینه سازی کنیم. 

کد متلب مربوط به این مثال به صورت زیر است:

				
					% تعریف تابع هدف و محدودیت‌ها
objFun = @(x) x(1).^2 + 3*x(2).^2; % تابع هدف
nonlcon = @(x) constraint(x); % تابع محدودیت

% حد پایین و حد بالا برای x1 و x2
lb = zeros(2,1); % حد پایین
ub = []; % حد بالا (بدون محدودیت)

% تعیین نقطه شروعی برای بهینه‌سازی
x0 = [0, 0]; % شروع از نقطه (0,0)

% حل مساله بهینه‌سازی
options = optimoptions('fmincon','Display','iter');
[x,fval,exitflag,output] = fmincon(objFun, x0, [], [], [], [], lb, ub, nonlcon, options);

disp('نقطه بهینه:');
disp(x);
disp('مقدار بهینه:');
disp(fval);

% تابع محدودیت
function [c, ceq] = constraint(x)
    c = [];
    ceq = x(1) + x(2) - 2; % x1 + x2 = 2
end

در این کد، ابتدا تابع هدف و محدودیت‌ها تعریف شده و سپس با استفاده از دستور fmincon، مساله بهینه‌سازی حل می‌شود. در نهایت نقطه بهینه و مقدار بهینه به همراه سایر اطلاعات خروجی نمایش داده می‌شود.

دستور optimineq:

دستور optimineq در جعبه ابزار بهینه‌سازی نرم‌افزار MATLAB یک الگوریتم بهینه‌سازی برای حل مسائل بهینه‌سازی برنامه‌نویسی غیرخطی است. این الگوریتم بر اساس روش بهینه‌سازی محدب و پیدا کردن نقطه تعادل کار می‌کند و معمولاً برای حل مسائل بهینه‌سازی محدب با محدودیت‌های خطی استفاده می‌شود.
 
در این الگوریتم، شما باید تابع هدف خود را تعریف کرده و محدودیت‌های لازم را تعیین کنید. سپس با فراخوانی دستور “optimineq”، می‌توانید بهینه‌ترین مقادیر پارامترهای تابع هدف خود را برای رسیدن به حداکثر یا کمینه کردن آن بیابید.

در زیر یک مثال ساده از استفاده از دستور “optimineq” در MATLAB به همراه توضیح آن برای حل یک مسأله بهینه‌سازی آمده است:

				
					% تعریف تابع هدف و محدودیت‌ها
fun = @(x) (x(1)-2)^2 + (x(2)-3)^2;
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [-10; -10];
ub = [10; 10];
x0 = [0; 0];

% حل مسأله بهینه‌سازی
options = optimoptions('fmincon', 'Algorithm', 'interior-point');
[x_opt, fval] = optimineq(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, [], options);

disp('مقدار بهینه:')
disp(fval)
disp('پارامترهای بهینه:')
disp(x_opt)

در این مثال، تابع هدف معادل مربع فاصله دو نقطه از نقطه (2,3) است. سپس با فراخوانی دستور “optimineq”، می‌توانیم بهینه‌ترین نقطه به همراه مقدار تابع هدف در آن نقطه را برای مسأله ارائه شده بیابیم.

دستور fmincon:

دستور fmincon در جعبه ابزار بهینه‌سازی متلب برای حل مسائل بهینه‌سازی محدودیت‌دار (Constrained Optimization) استفاده می‌شود. این دستور به وسیله الگوریتم‌های بهینه‌سازی مانند Interior-Point, SQP (Sequential Quadratic Programming), و Active-Set و غیره، به جستجوی بهینه متغیرهای مساله با توجه به محدودیت‌ها می‌پردازد. 
 
در اینجا یک مثال ساده از استفاده از دستور fmincon در متلب برای حل یک مساله بهینه‌سازی خطی ارائه می‌دهم. در این مثال، ما قصد داریم تابع هدف f(x) = x1^2 + 3*x2^2 را با شرایط x1 + x2 = 2 و x1, x2 >= 0 بهینه سازی کنیم.

کد متلب مربوط به این مثال به صورت زیر است:

				
					% تعریف تابع هدف و محدودیت‌ها
objFun = @(x) x(1).^2 + 3*x(2).^2; % تابع هدف
nonlcon = @(x) constraint(x); % تابع محدودیت

% حد پایین و حد بالا برای x1 و x2
lb = zeros(2,1); % حد پایین
ub = []; % حد بالا (بدون محدودیت)

% تعیین نقطه شروعی برای بهینه‌سازی
x0 = [0, 0]; % شروع از نقطه (0,0)

% حل مساله بهینه‌سازی
options = optimoptions('fmincon','Display','iter');
[x,fval,exitflag,output] = fmincon(objFun, x0, [], [], [], [], lb, ub, nonlcon, options);

disp('نقطه بهینه:');
disp(x);
disp('مقدار بهینه:');
disp(fval);

% تابع محدودیت
function [c, ceq] = constraint(x)
    c = [];
    ceq = x(1) + x(2) - 2; % x1 + x2 = 2
end

در این کد، ابتدا تابع هدف و محدودیت‌ها تعریف شده و سپس با استفاده از دستور fmincon، مساله بهینه‌سازی حل می‌شود. در نهایت نقطه بهینه و مقدار بهینه به همراه سایر اطلاعات خروجی نمایش داده می‌شود.

دستور optimexpr:

در MATLAB، optimexpr یک کلاس بهینه‌سازی است که برای ایجاد یک عبارت بهینه‌سازی برای مسائل بهینه‌سازی استفاده می‌شود. این دستور امکان ایجاد یک عبارت محاسباتی ریاضی را فراهم می‌کند که می‌توان آن را به توابع و عمل‌های بهینه‌سازی MATLAB مانند optimproblem و optimvar انتقال داد.
 
برای استفاده از optimexpr در یک مثال ساده، می‌توانید یک مساله بهینه‌سازی ساده ایجاد کنید که بهینه‌سازی یک عبارت ریاضی را انجام دهد.

 به‌عنوان مثال، یک برنامه بهینه‌سازی ساده که سعی دارد مقدار مینیمم یک تابع معین را پیدا کند، را می‌توان به‌صورت زیر ایجاد کرد:

				
					% ایجاد یک مساله بهینه‌سازی
problem = optimproblem;

% تعریف متغیر بهینه‌سازی
x = optimvar('x', 'LowerBound', 0);

% تعریف یک به‌منظور بهینه‌سازی
expr = optimexpr(4 * x^2 - 2 * x + 3);

% افزودن این عبارت به مساله بهینه‌سازی
problem.Objective = expr;

% تنظیم محدودیت‌ها
problem.Constraints.cons1 = x <= 10;

% حل مسأله
[sol, fval, exitflag] = solve(problem);
disp(sol.x);
disp(fval);

در این مثال، یک مسئله بهینه‌سازی ساده ایجاد شده است که تلاش می‌کند مقدار کمینه تابع \( f(x) = 4x^2 – 2x + 3 \) را پیدا کند، به‌طوری‌که \( x \) بین ۰ و ۱۰ باشد. برنامه در نهایت مقدار بهینه پیدا شده برای \( x \) و مقدار بهینه تابع را چاپ می‌کند.

دستور evalute:

دستور evalute در جعبه ابزار بهینه‌سازی متلب برای ارزیابی توابع هسته‌ای (Kernel functions) مورد استفاده قرار می‌گیرد. این توابع به عنوان محاسبات پایه برای بسیاری از الگوریتم‌های یادگیری ماشین مثل ماشین بردار پشتیبانی (SVM)، رگرسیون خطی پشتیبانی (SVR) و شبکه‌های عصبی (Neural Networks) استفاده می‌شوند.
 
وظیفه اصلی evalute این است که این توابع هسته‌ای را ارزیابی کرده و خروجی مورد انتظار از آن‌ها را تولید می‌کند.

در زیر یک مثال ساده از استفاده از تابع evalute برای ارزیابی یک تابع هسته‌ای نمایش داده شده است:

				
					% ایجاد داده‌های تست
x = [-2:0.1:2]; % دامنه داده
y = sin(x); % تابع هدف

% ارزیابی تابع هسته‌ای
kernel_function = @(X,Y) exp(-0.5 * pdist2(X,Y,'squaredeuclidean')); % تابع هسته‌ای گاوسی
K = evaluate(kernel_function, x, x); % ارزیابی تابع هسته‌ای برای داده‌های x

% نمایش نتایج
surf(x, x, K);
xlabel('x');
ylabel('x');
zlabel('Kernel Value');
title('Gaussian Kernel Function');

در این کد، یک تابع هسته‌ای گاوسی از نوع RBF برای ارزیابی داده‌ها استفاده شده است. ماتریس K حاوی مقادیر هسته‌ای برای داده های ورودی x است که به عنوان محور x و y برای نمودار نمایش داده می‌شود.

دستور infeasibility:

دستور infeasibility در جعبه ابزار بهینه‌سازی متلب برای حل مسائل بهینه‌سازی با محدودیت‌های نامناسب (infeasible) استفاده می‌شود. این دستور به شما امکان می‌دهد تا میزان عدم امکانی (infeasibility) محلول که مربوط به تخلف شرایط محدودیت‌ها است را ارزیابی کنید.

توضیح عملکرد دستورinfeasibility:

وقتی یک مساله بهینه‌سازی دارای شرایط نامناسب است، بهینه‌ساز به دنبال یافتن یک حالت که همه شرایط محدودیت‌ها رعایت شود و در عین حال مقدار جواب بهینه حداکثر (یا حداقل) شود. اما اگر اینگونه حالتی وجود نداشته باشد، مساله بهینه‌سازی اعلام می‌کند که مسأله ناممکن است و در این صورت مقدار عدم امکانی محاسبه می‌شود.

مثال با کد متلب:

فرض کنید که می‌خواهید یک مساله بهینه‌سازی ساده با یک متغیر \(x\) حل کنید که محدودیت آن به شکل \(x \geq 5\) تعریف شده است. حالتی که \(x = 7\) این شرط را نقض می‌کند. در این حالت، دستور infeasibilityبه شما اطلاع می‌دهد که محلول بدون تخلف محدودیت‌ها وجود ندارد.

کد مثال MATLAB:
				
					x = 7; % فرض برای نقض شرط
constraint = x >= 5;

if constraint
    disp('مقدار x برای تأمین محدودیت درست است.')
else
    delta = infeasibility(constraint, x);
    disp(['محلول ناممکن است. عدم امکانی: ', num2str(delta)]);
end

در این مثال، ابتدا مقدار \(x\) در نظر گرفته شده است و محدودیت \(x \geq 5\) بررسی می‌شود. اگر محدودیت رعایت شود، پیام “مقدار x برای تأمین محدودیت درست است.” چاپ می‌شود. اما اگر محدودیت نقض شود، دستور infeasibility برای محاسبه عدم امکانی و میزان تخلف اطلاعات لازم را ارائه می‌دهد.

دستور prob2struct:

دستور prob2struct در جعبه ابزار بهینه‌سازی پیشرفته ابزارهای بهینه‌سازی فراخوانی می‌شود تا یک جلبکتر ساختاری را از یک مسئله بهینه‌سازی شکل یافته بدست آورد. این دستور در اصل یک مسئله بهینه‌سازی خطی یا غیرخطی را تبدیل به یک ساختار سازمان‌یافته یا “struct” در متلب می‌کند که محققان و مهندسان می‌توانند از آن در متلب برای ایجاد و حل مسائل بهینه‌سازی استفاده کنند.

در زیر یک مثال از استفاده از prob2struct در متلب آمده است:

				
					% تعریف مسئله بهینه‌سازی خطی
f = [2; 3];
A = [1, 1; -1, 2; 2, 1];
b = [2; 2; 3];
lb = [0; 0];
ub = [Inf; Inf];

% تبدیل مسئله بهینه‌سازی به ساختار
problem = prob2struct('Linear', f, A, b, lb, ub);

% نمایش مسئله بهینه‌سازی به صورت ساختاری
disp(problem);

در این کد، یک مسئله بهینه‌سازی خطی ساده تعریف شده و سپس با استفاده از prob2struct این مسئله به یک ساختار سازمان‌یافته تبدیل می‌شود و در نهایت اطلاعات مربوطه نمایش داده می‌شود.

پس از اجرای این کد، می‌توانید ساختار به دست آمده را بررسی کرده و از آن برای ادامه مراحل بهینه‌سازی استفاده نمایید.

دستورsolve:

دستورsolve در محیط متلب از بسته‌ی ابزار بهینه‌سازی برای حل مسائل جبر خطی و غیرخطی استفاده می‌شود. این دستور به کاربر این امکان را می‌دهد تا بتواند برای یک یا چند معادله‌ی جبری با یک یا چند متغیر مجهول مقادیر معادلات را حساب کند.

توضیحات بیشتر و مثال:

فرض کنید دو متغیر \(x\) و \(y\) داریم و معادلات زیر را برای آن‌ها داریم:

\[2x + y = 10\]

\[x – 3y = 5\]

حال می‌خواهیم این دو معادله را با استفاده از دستور solve در متلب حل کنیم. کد زیر معادلات بالا را حل می‌کند:

				
					syms x y
eqn1 = 2*x + y == 10;
eqn2 = x - 3*y == 5;
sol = solve([eqn1, eqn2], [x, y]);
disp(sol.x)
disp(sol.y)

در این کد، ابتداsyms x y تعریف می‌کند که \(x\) و \(y\) به عنوان نماد ها تعریف شوند. سپس دو معادله در \eqn1 و \(\eqn2 ذخیره می‌شوند. سپس با فراخوانی \(\solve([eqn1, eqn2], [x, y])، مقادیر \(x\) و \(y\) برای این معادلات محاسبه می‌شوند و درsol.xو sol.y ذخیره می‌شوند.

با اجرای این کد نتایج به شکل زیر خواهد بود:

				
					3
4

به این معنی که مقدار \(x\) برابر 3 و مقدار \(y\) برابر 4 است.

دستور varindex:

در متلب، دستور varindex یکی از دستورات داخل جعبه ابزار بهینه‌سازی می‌باشد که برای برنامه‌ریزی خطی اقدام به پیدا کردن شاخص متغیر مهم در یک مسالهٔ بهینه‌سازی می‌نماید. اصلی‌ترین کارایی این دستور، انتخاب بهترین متغیرها (واریابل‌ها) برای استفاده در مسأله بهینه‌سازی است.

این دستور بر اساس معیاری که شما مشخص می‌کنید، ویژگی‌های مهم متغیرها را بر اساس اهمیت و تاثیر آن‌ها بر روی مسالهٔ بهینه‌سازی محاسبه می‌کند.

در زیر یک مثال از استفاده از دستور varindex در متلب آمده است:

				
					% تولید داده‌های تصادفی
rng(0);
x = randn(100,1);
y = 3*x - 2 + randn(100,1);

% تعریف مساله بهینه‌سازی ساده برای مثال
fun = @(c) sum((c*x - y).^2);
c0 = [0]; % حد‌پیش‌فرض

% بهینه‌سازی براساس شاخص متغیرها
[c_opt, fval] = fminunc(fun, c0);

% تشخیص شاخص متغیرهای بهینه
selected_vars = varindex(c_opt);

disp('شاخص متغیرهای انتخاب شده:');
disp(selected_vars);

در این مثال، ابتدا داده‌های تصادفی تولید شده و مسالهٔ بهینه‌سازی ساده‌ای تعریف شده است. سپس با استفاده از دستور fminunc بهینه‌سازی انجام شده و سرانجام دستور varindex برای تعیین شاخص مهم‌ترین متغیرها به کار رفته است.

دستور showconstr:

دستور showconstr در جعبه ابزار بهینه‌سازی محیط نرم‌افزار MATLAB به شما امکان مشاهده و نمایش تمامی محدودیت‌های تعریف شده برای یک مسئله بهینه‌سازی را می‌دهد. این دستور به شما کمک می‌کند تا بتوانید محدودیت‌های موجود در مسئله‌ی بهینه‌سازی خود را بررسی و ارزیابی کنید.

برای مثال، فرض کنید یک مسئله‌ی بهینه‌سازی خطی با محدودیت‌های زیر داریم:

\[ \begin{align*}

\{maximize} & \quad  f(x) = x_1 + x_2 \\

\{subject to} & \quad x_1 + 2x_2 \leq 10 \\

& \quad 3x_1 – x_2 \leq 12 \\

& \quad x_1, x_2 \geq 0

\end{align*} \]

حال می‌توانیم این محدودیت‌ها را با استفاده از دستور showconstr بررسی کنیم. در ادامه یک کد MATLAB به عنوان مثال برای این مسئله داریم:

				
					% تعریف مسئله‌ی بهینه‌سازی
f = [-1; -1];  % تابع هدف به صورت منفی چون مسئله‌ی بهینه‌سازی حداکثر کردن است
A = [1, 2; 3, -1];  % ماتریس ضرایب محدودیت‌ها
b = [10; 12];  % بردار مقادیر سمت راست محدودیت‌ها
lb = [0; 0];  % حد پایین متغیرها

% نمایش محدودیت‌ها
showconstr(f, A, b, lb)

در این کد، ابتدا مسئله‌ی بهینه‌سازی با تابع هدف و محدودیت‌های داده شده تعریف شده است. سپس با فراخوانی showconstr با وارد کردن متغیرهای تعریف‌شده، محدودیت‌های مسئله نمایش داده می‌شوند. این کار به شما کمک می‌کند تا مطمئن شوید که مدل شما به درستی تعریف شده است و همچنین محدودیت‌های آن را بررسی کنید. 

دستورshowexpr:

در محیط نرم‌افزار MATLAB، دستور showexpr یکی از دستورات موجود در جعبه ابزار بهینه‌سازی است که برای نمایش محتوای یک عبارت ریاضی کاربرد دارد. این دستور می‌تواند برای نشان دادن جزئیات یک تابع بهینه‌سازی شده یا مقدار محاسبه‌شده در این تابع به کار گرفته شود.

در زیر یک مثال ساده از استفاده از دستور showexpr در MATLAB آمده است. این مثال یک تابع ساده را بهینه‌سازی می‌کند و سپس جزئیات بهینه‌سازی شده را نمایش می‌دهد.

				
					% تعریف تابع بهینه‌سازی
fun = @(x) (x(1)-3).^2 + (x(2)-2).^2;

% شروع فرایند بهینه‌سازی
x0 = [0, 0];
options = optimset('Display','iter');
[x,fval] = fminsearch(fun, x0, options);

% نمایش جزئیات بهینه‌سازی شده با دستور showexpr
showexpr('تابع بهینه‌سازی', fun, 'نقطه بهینه', x, 'مقدار بهینه', fval);

در این کد، ابتدا یک تابع ساده به نام \{fun} تعریف شده است که یک تابع دومتغیره را نمایش می‌دهد. سپس با استفاده از تابع \{fminsearch} فرایند بهینه‌سازی انجام شده و مکان و مقدار بهینه پیدا می‌شود. در نهایت با استفاده از دستور showexpr، جزئیات بهینه‌سازی شده نمایش داده می‌شود. 

دستور showproblem:

در محیط نرم‌افزار متلب، دستور showproblem یک دستور کمکی (utility) در جعبه ابزار بهینه‌سازی (Optimization Toolbox) است. این دستور برای نمایش جزئیات فنی یا اطلاعاتی درباره مسائل بهینه‌سازی می‌باشد.

از دستور showproblem برای نمایش ساختارهای داخلی مسائل بهینه‌سازی استفاده می‌شود. این دستور به کاربر کمک می‌کند تا اطلاعاتی مانند نوع مسئله، متغیرها، محدودیت‌ها و توابع هدف مربوط به یک مسأله بهینه‌سازی را بفهمد.

در زیر یک مثال ساده از استفاده از دستور showproblem در متلب به همراه توضیح آن آمده است:

				
					% تعریف مسئله بهینه سازی
f = @(x) (x(1)-2)^2 + (x(2)-3)^2;
x0 = [0, 0];
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [-1, -1];
ub = [1, 1];

% نمایش جزئیات مسئله بهینه‌سازی
problem = createOptimProblem('fmincon', 'objective', f, 'x0', x0, 'Aineq', A, 'bineq', b, 'Aeq', Aeq, 'beq', beq, 'lb', lb, 'ub', ub);
showproblem(problem);
توضیح:

1. در این کد، ابتدا یک تابع هدف \(f\) (objective function) تعریف شده است که برای مثال یک تابع مربع فاصله از نقطه \((2,3)\) است.
2. سپس متغیرهای مسئله مانند نقطه شروع (\(x0\))، محدودیت‌های مسئله (\(A\), \(b\), \(Aeq\), \(beq\), \(lb\), \(ub\)) تعریف شده‌اند.
3. سپس با استفاده از دستور showproblem یک مسئله بهینه‌سازی ایجاد شده و ساختار داخلی آن بادستور showproblem نمایش داده شده است.

این دستورات به شما کمک می‌کنند تا ساختار داخلی مسئله بهینه‌سازی را بهتر درک کنید و از آن به‌گونه‌ای استفاده کنید که بهترین نتیجه را برای مسئله‌ی خود به‌دست آورید.

دستور showvar:

دستور showvar در جعبه ابزار بهینه‌سازی متلب برای نمایش متغیرهای مورد استفاده در یک مسئله بهینه‌سازی عددی بکار می‌رود. این دستور به شما کمک می‌کند تا مقادیر متغیرها، محدودیت‌ها، و سایر موارد مرتبط با یک مسئله بهینه‌سازی را بررسی و مشاهده کنید.

در زیر یک نمونه کد متلب برای این منظور آمده است:

				
					% تعریف مسئله بهینه‌سازی
x = optimvar('x', 'LowerBound', 0, 'UpperBound', 10);
y = optimvar('y', 'LowerBound', 0, 'UpperBound', 10);

prob = optimproblem;
prob.Objective = x^2 + y^2;
prob.Constraints.c1 = x + y <= 15;

% نمایش متغیرها و محدودیت‌ها
showvar(prob);

در این کد، یک مسئله بهینه‌سازی ساده تعریف شده است که هدف آن کمینه کردن معادله x^2 + y^2 با شرط x + y <= 15 است. سپس با استفاده از دستور showvar، متغیرها (x و y) و محدودیت‌های مسئله بهینه‌سازی به صورت جدولی نمایش داده می‌شوند.

استفاده از این دستور به شما کمک می‌کند تا ساختار مسئله بهینه‌سازی خود را بهبود داده و مشکلات آن را شناسایی کنید.

دستور writeexpr:

در متلب، دستور writeexpr یک رابطه ریاضی یا نمایش عددی از یک عبارت ریاضی را به دیسک یا در Command Window ذخیره می‌کند. این دستور از جمله دستوراتی است که در جعبه ابزار بهینه‌سازی قرار دارد و بعنوان یک ابزار اختصاصی برای بهینه‌سازی می‌تواند به کار گرفته شود.

یک نکته مهم کاربرد writeexpr این است که می‌تواند به منظور ذخیره عبارات بزرگ و پیچیده یا نتایج بهینه‌سازی مدل‌ها و آنالیزهای پیچیده استفاده شود.

برای مثال، در زیر یک کد ساده متلب نمونه آمده است که یک تابع مقداردهی و بهینه‌سازی از آن استفاده می‌کند و نتیجه را با استفاده از writeexpr ذخیره می‌کند و در Command Window چاپ می‌کند:

				
					% تعریف تابع مقداردهی
fun = @(x) x^2 - 4*x + 4;

% بهینه‌سازی تابع با فرض همه گیری مقادیر x
x_opt = fminbnd(fun, 0, 4);

% ذخیره نتیجه و چاپ آن
output_expr = ['The minimum value of the function is: ', num2str(fun(x_opt))];
writeexpr(output_expr);
disp(output_expr);

در این کد، ابتدا تابع fun() تعریف شده است که یک تابع مقداردهی ساده را نمایش می‌دهد. سپس با استفاده از تابع fminbnd تابع fun بهینه سازی می‌شود و مقدار بهینه آن در x_opt ذخیره می‌شود. سرانجام مقدار بهینه‌شده تابع به وسیله writeexpr ذخیره و چاپ می‌شود.

در اینجا writeexpr برای ذخیره و چاپ نتایج استفاده شده است، اما می‌توانید از آن برای ذخیره و مدیریت عبارات ریاضی یا نتایج مختلف استفاده کنید.

دستور writeproblem:

در جعبه ابزار بهینه‌سازی متلب، دستور writeproblem برای نوشتن یک مسأله بهینه‌سازی به صورت فایل LP یا MILP استفاده می‌شود. این دستور کمک می‌کند تا شما بتوانید مسأله‌ی بهینه‌سازی خود را به فرمت مناسبی ذخیره کرده و از الگوریتم‌های بهینه‌سازی موجود در متلب برای حل آن استفاده کنید.

 کد مثال و توضیح آن:

در این مثال، یک مسأله بهینه‌سازی ساده به صورت یک مسأله LP تعریف می‌کنیم. سپس این مسأله با استفاده از دستور writeproblem به صورت یک فایل LP ذخیره می‌شود.

				
					% تعریف مسأله بهینه‌سازی ساده
f = [-1; -2];  % تعریف تابع هدف
A = [1, 1; 1, -1];  % ماتریس ضرایب قیدها
b = [2; 1];  % بردار قیدها
lb = [0; 0];  % حد پایین متغیرها
ub = [inf; inf];  % حد بالا متغیرها

% نوشتن مسأله بهینه‌سازی به فرمت LP
writeproblem('optimization_problem.lp','LP', f, A, b, [], [], lb, ub);

توضیح کد:

1. ابتدا تابع هدف (f)، ماتریس ضرایب قیدها (A)، بردار قیدها (b)، حد پایین متغیرها (lb) و حد بالا متغیرها (ub) تعریف می‌شوند.
2. سپس تابع writeproblem  صدا زده می‌شود تا مسأله بهینه‌سازی به فرمت LP با نام ‘optimization_problem.lp’ ذخیره شود.

این نحوه کارکرد دستور writeproblem  و کاربرد آن در ذخیره‌سازی مسأله بهینه‌سازی را نشان می‌دهد.

دستورwritevar:

در MATLAB، دستور optimtool یا به عبارت دقیق‌تر optimtool(‘optim’) از بیشینه‌سازی (optimization) در جعبه ابزار بهینه‌سازی (Optimization Toolbox) استفاده می‌کند. این دستور به شما امکان فراهم کردن یک رابط گرافیکی برای تنظیم پارامترهای بهینه‌سازی در MATLAB را می‌دهد.
 
در این رابط گرافیکی، شما می‌توانید توابع هدف، محدودیت‌ها، الگوریتم بهینه‌سازی، پارامترهای الگوریتم و سایر تنظیمات مربوط به بهینه‌سازی را تعیین کنید.

الگوی استفاده از optimtool برای تنظیم و اجرای بهینه‌سازی به صورت زیر است:

				
					%% ساخت تابع هدف
fun = @(x) x(1)^2 + x(2)^2;

%% تعیین محدودیت‌ها
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [-10, -10];
ub = [10, 10];

%% تنظیمات الگوریتم
options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','interior-point');

%% اجرای بهینه‌سازی
x0 = [0, 0];
[x, fval, exitflag, output] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, [], options);

disp(['Minimum at x = ', num2str(x), ' with fval = ', num2str(fval)]);

در این کد، ابتدا تابع هدف fun، محدودیت‌ها و تنظیمات الگوریتم مشخص شده‌اند. سپس با استفاده از fmincon که یک الگوریتم بهینه‌سازی است، بهینه‌سازی انجام شده و مقادیر بهینه، مقدار تابع هدف در بهینه و خروجی الگوریتم به دست آمده است.

دستور optimoptions:

دستور optimoptions در محیط نرم‌افزار متلب، برای تنظیم و انتخاب تنظیمات بهینه‌سازی در رویه‌های بهینه‌سازی مختلف استفاده می‌شود. این دستور به شما امکان می‌دهد تا پارامترهای مختلفی را مانند حداکثر تعداد iterasi‌وها، معیارهای توقف، الگوهای جستجو و … تنظیم کنید. تنظیم این پارامترها می‌تواند بر کیفیت و سرعت همگرایی الگوریتم بهینه‌سازی تأثیر بگذارد.

در ادامه یک مثال از استفاده از دستور optimoptions در متلب ، به همراه شرح آن را برای شما نوشتم:

				
					% تعریف یک تابع هدف (به‌عنوان مثال، تابع f(x) = x^2)
fun = @(x) x^2;

% تنظیم گزینه‌های بهینه‌سازی
options = optimoptions('fminunc', 'Display', 'iter', 'MaxIterations', 100, 'OptimalityTolerance', 1e-6);

% اجرای روش بهینه‌سازی
[x, fval, exitflag, output] = fminunc(fun, 2, options);

disp(['مقدار بهینه‌ی x: ', num2str(x)]);
disp(['مقدار بهینه‌ی تابع هدف: ', num2str(fval)]);
  • در این مثال، ما یک تابع هدف ساده به نام f(x) = x^2 تعریف کرده و سپس با استفاده از دستور optimoptions گزینه‌های بهینه‌سازی برای الگوریتم fminunc تنظیم کرده‌ایم. سپس با استفاده از fminunc تابع بهینه‌سازی را اجرا می‌کنیم تا مقدار بهینه x و مقدار بهینه تابع هدف را بیابیم.
  • در این مثال، ما گزینه‌های نمایش خروجی را به ‘iter’ تنظیم کرده‌ایم تا جزئیاتی از فرآیند بهینه‌سازی را ببینیم و گزینه MaxIterations را به 100 تنظیم کرده‌ایم تا حداکثر تعداد iterasi‌وها را مشخص کنیم. همچنین با تعیین مقدار OptimalityTolerance به 1e-6، معیار توقف را نیز تنظیم کرده‌ایم.
  • این مثال طرز کار دستور optimoptions و استفاده از آن را نشان می‌دهد و امکان تنظیم پارامترهای بهینه‌سازی را در متلب نشان می‌دهد.

دستور optimset:

دستور optimset در محیط برنامه‌نویسی MATLAB به کاربر، امکان تنظیم پارامترهای مختلف الگوریتم‌های بهینه‌سازی موجود در جعبه ابزار بهینه‌سازی را می‌دهد. این دستور به کاربر کمک می‌کند تا مقادیر پیش‌فرض الگوریتم‌ها را تغییر داده و سفارشی‌سازی دقیق‌تری انجام دهد.

برخی از پارامترهای قابل تنظیم با استفاده از optimset عبارتند از: 

– نوع الگوریتم بهینه‌سازی (مثلاً فرارابن‌گر، جستجوی محلی، الگوریتم‌های تکاملی و …)
– محدوده‌ها و قدرتپذیری برای جستجوی بهینه
– شرایط توقف الگوریتم
– نحوه نمایش نتایج و خطاها و …
برای مثال، در کد زیر یک نمونه ساده از استفاده از optimset به همراه الگوریتم بهینه‌سازی فرارابن‌گر (fminsearch) نشان داده شده است:
				
					% Define the objective function
fun = @(x) x(1)^2 + x(2)^2;

% Initial point for optimization
x0 = [1, 1];

% Define options for the optimizer using optimset
options = optimset('Display', 'iter', 'TolX', 1e-6, 'TolFun', 1e-6);

% Call the optimizer fminsearch with the defined options
[x_opt, fval, exitflag, output] = fminsearch(fun, x0, options);

disp('Optimal solution:');
disp(x_opt);
disp('Optimal function value:');
disp(fval);
disp('Exit flag:');
disp(exitflag);
disp('Number of iterations:');
disp(output.iterations);

در این کد، ما ابتدا یک تابع هدف ساده (fun) و یک نقطه ابتدایی برای بهینه‌سازی (x0) تعریف کرده و سپس با استفاده از optimset، گزینه‌های مربوطه را تعیین کرده‌ایم. در این مثال، ما نمایش خروجی‌ها در هر مرحله را فعال کرده و مقادیر تابع ارزیابی و نقطه بهینه را یافته شده نشان می‌دهیم.

اجرای این کد، الگوریتم بهینه‌سازی fminsearch را با تنظیمات مشخص شده با optimset فراخوانی می‌کند و نقطه بهینه و مقدار تابع هدف به همراه سایر اطلاعات خروجی را به کاربر نشان می‌دهد.

دستور resetoptions:

دستور resetoptions در جعبه ابزار بهینه‌سازی متلب برای بازنشانی (ریست کردن) تمام تنظیمات و گزینه‌های بهینه‌سازی به حالت اولیه فابل انجام می‌دهد. این دستور مفید است زمانی که بخواهید تنظیمات بهینه‌سازی را به حالت پیش‌فرض بازنشانی کنید.

در زیر یک نمونه کد متلب برای نمایش عملکرد resetoptions آورده شده است:

				
					% تعریف تابع هدف برای بهینه‌سازی
fun = @(x) (x(1)^2 + x(2)^2);

% تهیه تنظیمات بهینه‌سازی
options = optimoptions('fminunc', 'Algorithm', 'quasi-newton', 'MaxIterations', 100);

% نمایش تنظیمات فعلی
disp('Current Optimization Options:');
disp(options);

% اعمال تابع بهینه‌سازی با تنظیمات فعلی
x0 = [1, 1];
[x, fval] = fminunc(fun, x0, options);

% بازنشانی تمام تنظیمات به حالت اولیه
resetoptions;

% نمایش تنظیمات پس از بازنشانی
disp('Optimization Options After Reset:');
disp(options);

% اعمال تابع بهینه‌سازی با تنظیمات جدید (حالت پیشفرض)
[x_default, fval_default] = fminunc(fun, x0);

این کد ابتدا یک تابع هدف ساده تعریف می‌کند و سپس تنظیمات بهینه‌سازی را تعیین کرده و نمایش می‌دهد. سپس با استفاده از تنظیمات فعلی، تابع بهینه‌سازی را اجرا می‌کند. سپس با استفاده از resetoptions تمام تنظیمات را بازنشانی کرده و دوباره تابع بهینه‌سازی را با تنظیمات پیشفرض اجرا می‌کند.

اینجا باید دقت کنیم که این کد فقط جهت نمایش عملکرد resetoptions است و ممکن است در مواقع دیگر دستورات بهینه‌سازی متفاوتی نیاز داشته باشید.

دستور fminbnd:

دستور fminbnd در Matlab یکی از دستورات مربوط به بهینه‌سازی است که برای پیدا کردن مقدار کمینه یک تابع یک متغیره در یک بازه مشخص استفاده می‌شود. این دستور از الگوریتم بهینه‌سازی مبتنی بر تابع استفاده می‌کند تا مینیمم یک تابع را در یک بازه مشخص پیدا کند.
 
دستور fminbnd با ورودی‌هایی مانند تابع هدف، حد پایین و حد بالای بازه جستجو و مقادیر دیگری که می‌تواند نقش افزوده‌ای در فرایند بهینه‌سازی ایفا کند، برای ما ارزش کمینه تابع و مقدار ورودی متناظر با آن ارزش را باز می‌گرداند.
این دستور برای حل مسائل بهینه‌سازی یک متغیره به‌کار می‌رود و از روش‌های بهینه‌سازی نامتغیر بهره می‌برد.
برای مثال، فرض کنید ما یک تابع ساده مانند f(x) = x^2 – 4x + 4 داریم و می‌خواهیم کمینه آن را در بازه [0, 4] پیدا کنیم. می‌توانیم از دستور fminbnd استفاده کنیم تا این کار را انجام دهیم. کد زیر نشان می‌دهد چگونه از این دستور می‌توان برای این مسئله استفاده کرد:
				
					% تعریف تابع هدف
fun = @(x) x^2 - 4*x + 4;

% جستجو برای کمینه در بازه [0, 4]
[x_min, f_min] = fminbnd(fun, 0, 4);

% چاپ نتیجه
disp(['مقدار x برای کمینه: ', num2str(x_min)]);
disp(['مقدار تابع در کمینه: ', num2str(f_min)]);

این کد به ما کمینه تابع و مقدار x متناظر با آن کمینه را در بازه مشخص می‌دهد.

ℹ️ توجه: این مثال بسیار ساده‌است و تاثیرگذاری واقعی دستور fminbnd در حل مسائل بهینه‌سازی پیچیده‌تر می‌تواند بسیار بیشتر از این باشد.

دستور fmincon:

دستور fmincon در متلب یک الگوریتم بهینه‌سازی غیرخطی است که برای حل مسائل بهینه‌سازی با قیدهای غیرخطی و احتمالاً محدودیت‌های غیرخطی استفاده می‌شود. این دستور به کمک روش‌های بهینه‌سازی مبتنی بر تابع، از جمله تغییرات فاصله محدود (SQP) و تابع همانی بهینه شده (SNOPT) عمل می‌کند.

به‌طور کلی، fmincon سعی می‌کند تابع هدف و محدودیت‌های مسئله بهینه‌سازی غیرخطی را بهینه کند. این دستور می‌تواند برای مسائلی مانند بهینه‌سازی پارامترها در مسائل کنترل، بهینه‌سازی پارامترها در مدل‌های ریاضی، و بهینه‌سازی توزیع‌های احتمال در مسائل بهینه‌سازی بیاید.

در زیر یک مثال ساده از استفاده از دستور fmincon در متلب آمده است. این مثال یک تابع هدف به صورت مربعات متعامد مینیمم کرده و دو محدودیت خطی دارد. 

				
					% تعریف تابع هدف
fun = @(x) (x(1)-1)^2 + (x(2)-2.5)^2;

% تعریف مقدار اولیه
x0 = [0, 0];

% تعریف محدودیت‌ها
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [-1, -1];
ub = [2, 3];

% استفاده از fmincon برای بهینه‌سازی با قید
[x, fval] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub);
disp(x);
disp(fval);

در این مثال، ما ابتدا تابع هدف (fun) و مقادیر اولیه (x0) را تعریف کرده و سپس محدودیت‌ها را با استفاده از ماتریس‌های A، b، Aeq، beq، lb و ub نیز تعریف می‌کنیم. سپس با فراخوانی دستور fmincon، مقدار بهینه و خود تابع هدف به همراه مقدار بهینه‌سازی برگردانده می‌شود.

استفاده از این دستور بسته به مسئله بهینه‌سازی و نیاز‌های خاص شما ممکن است متفاوت باشد، اما این مثال می‌تواند به عنوان یک شروع کلی برای استفاده از fmincon در متلب کاربرد داشته باشد.

دستور fminsearch:

دستور fminsearch یکی از دستورات مهم و پرکاربرد در محیط نرم‌افزار MATLAB است که در جعبه‌ابزار بهینه‌سازی قرار دارد. این دستور برای حل مسائل بهینه‌سازی بدون محدودیت یا بهینه‌سازی تابع‌های بدون مشتق استفاده می‌شود. از این دستور می‌توان برای پیدا کردن مقادیر بهینه یک تابع هدف چند متغیره استفاده کرد.
 
وظیفه fminsearch بهینه‌سازی یک تابع هدف نقطه‌ای بدون نیاز به دانستن مشتقات تابع می‌باشد. این دستور با استفاده از روش بهینه‌سازی شببیه-نزدیکترین‌همسایه (Nelder-Mead)، با جستجوی بهینه‌سازی در فضای پارامترها تلاش می‌کند تا به مقدار کمینه یا بیشینه مورد نظر برسد.

در زیر یک مثال ساده از استفاده از fminsearch در MATLAB قرار داده شده است:

				
					% تعریف تابع هدف
fun = @(x) (x(1)-2)^2 + (x(2)-3)^2;

% تعریف نقطه شروعی برای بهینه‌سازی
x0 = [0, 0];

% اعمال دستور fminsearch بر روی تابع هدف
x_opt = fminsearch(fun, x0);

disp('مقادیر بهینه پیدا شده:');
disp(x_opt);

در این مثال، تابع هدف مربوطه می‌تواند به صورت دلخواه تغییر داده شود. تابع fun در اینجا به صورت مربعی فاصله نقطه بهینه مورد نظر از مقادیر مشخص شده توسط آرگومان‌های x تعریف شده است. سپس با اعمال fminsearch بر روی این تابع هدف و انتخاب نقطه شروعی x0، مقادیر بهینه برای x به صورت x_opt به دست می‌آید و چاپ می‌شود.

استفاده از این دستورات برای حل مسائل بهینه‌سازی آسان و موثر است و می‌تواند برای مسائل پیچیده‌تر نیز مورد استفاده قرار بگیرد. نحوه دقیق عملکرد تابع بهینه‌سازی بستگی به هدف و فضای پارامترهای مسئله دارد.

دستور fminunc:

دستور fminunc در محیط نرم‌افزار MatLab یک الگوریتم بهینه‌سازی بدون محدودیت برای یافتن مقدار کمینه تابع هدف تک متغیره است. این دستور بر اساس روش Quasi-Newton با ترکیبی از الگوریتم‌های BFGS و DFP عمل می‌کند و می‌تواند مسائل بهینه‌سازی بدون محدودیت با تعداد متغیرهای متوسط را حل کند.

الگوریتم fminunc به‌طور معمول توسط یک تابع هدف و شرایط اولیه کنترل می‌شود. شما می‌توانید یک تابع هدف تعریف کنید که مقداری باید کمینه شود و اگر نیاز باشد، می‌توانید محدودیت‌های خطی یا غیرخطی برای متغیرهای خود تعریف کنید.

در زیر یک مثال ساده از استفاده از دستور fminunc در MatLab عنوان شده است:

				
					% تعریف تابع هدف (مثال: f(x) = x^2 + 4*(x-2)^2)
fun = @(x) x^2 + 4*(x-2)^2;

% تنظیمات بهینه‌سازی
options = optimset('Display', 'iter'); % نمایش جزئیات بهینه‌سازی

% اجرای دستور بهینه‌سازی
[x, fval, exitflag, output] = fminunc(fun, 0.5, options);

% نمایش نتایج
disp(['Minimum at x = ', num2str(x)]);
disp(['Minimum value = ', num2str(fval)]);
disp(['Exit flag = ', num2str(exitflag)]);

در این مثال، تابع هدف معادل x^2 + 4*(x-2)^2 تعریف شده است. سپس با استفاده از دستور fminunc، مقدار کمینه و موقعیت x محاسبه می‌شود. تنظیمات بهینه‌سازی نیز اینجا برای نمایش جزئیات بهینه‌سازی تنظیم شده است.

در نهایت، نتایج شامل موقعیت x، مقدار تابع در موقعیت کمینه، و exit flag (کد خروجی) که نشان‌دهنده موفقیت یا شکست بهینه‌سازی است، نمایش داده می‌شود. 

مطمئن باشید که تابع هدف و تنظیمات بهینه‌سازی را بر اساس نیاز خود تغییر دهید.

دستور fseminf:

در محیط نرم‌افزار MATLAB، دستور fseminf یک دستور است که در جعبه ابزار بهینه‌سازی (Optimization Toolbox) قرار دارد و برای جستجوی کمینه یک تابع هدف یا تابع هزینه با استفاده از الگوریتم‌های بهینه‌سازی غیرخطی استفاده می‌شود. این دستور به صورت زیر تعریف می‌شود:

				
					[x,fval,exitflag,output] = fseminf(fun,x0)

که در اینجا:

– fun: یک function handle به عنوان تابع هدف که باید برای آن کمینه مطلوب را پیدا کنیم.

– x0: یک مقدار اولیه برای جستجوی بهینه.

خروجی‌های این دستور شامل:

– x: نقطه بهینه کمینه‌یابی شده.

– fval: مقدار تابع هدف در نقطه بهینه.

– exitflag: کدی که نشان‌دهنده وضعیت پایانی بهینه‌سازی است.

– output: جزئیات بیشتری درباره فرآیند بهینه‌سازی از جمله تعداد تکرارها و مقدار گرادیان تابع هزینه است.

در زیر یک مثال ساده از استفاده از fseminf در MATLAB آمده است. در این مثال، فرض می‌شود که ما قصد داریم کمینه تابع f(x) = x^2 را با استفاده از fseminf پیدا کنیم:

				
					% تعریف تابع هدف
fun = @(x) x^2;

% مقدار اولیه
x0 = 2;

% استفاده از دستور fseminf برای بهینه‌سازی
[x, fval, exitflag, output] = fseminf(fun, x0);

disp(['نقطه بهینه: x = ', num2str(x)]);
disp(['مقدار تابع در نقطه بهینه: f(x) = ', num2str(fval)]);

در این مثال، مقدار x=0 به عنوان نقطه بهینه و مقدار f(x)=0 به عنوان کمینه تابع ما به دست می‌آید.

 دستور optimget:

در محیط نرم‌افزار متلب، دستور optimget از جعبه‌ابزار بهینه‌سازی (optimization toolbox) استفاده می‌شود و به منظور دریافت یا تنظیم ویژگی‌های (تنظیم‌های) مربوط به یک تابع بهینه‌سازی مورد استفاده قرار می‌گیرد. این دستور برای کنترل پارامترهای بهینه‌سازی مختلف مانند تعداد تکرارها (iterations)، محدوده مقادیر متغیرها (constraints) و سایر تنظیمات مربوط به الگوریتم‌های بهینه‌سازی مورد استفاده قرار می‌گیرد.

در زیر یک مثال ساده از استفاده از دستور optimget در متلب را برای تنظیم تعداد تکرارها به 100 نشان می‌دهم:

				
					% تعریف تابع هدف
fun = @(x) x^2 + 3*x + 5;

% تنظیم مسئله بهینه سازی
options = optimset('MaxIter', 100);

% اعمال تنظیمات بهینه سازی
[x, fval, exitflag, output] = fminunc(fun, 0, options);

disp(['نتیجه بهینه: x = ', num2str(x)]);
disp(['مقدار بهینه تابع هدف: ', num2str(fval)]);

در این کد، ابتدا یک تابع هدف ساده تعریف شده است. سپس با استفاده از optimset و تنظیم MaxIter به مقدار 100، تعداد حداکثر تکرارها برای الگوریتم بهینه‌سازی تعیین شده است. در ادامه با استفاده از fminunc با اعمال تنظیمات، بهینه‌سازی بر روی تابع هدف انجام می‌شود و نتایج نمایش داده می‌شود.

دستور fminunc:

دستور fminunc در جعبه ابزار بهینه‌سازی محیط MATLAB استفاده می‌شود. این دستور برای حل مسائل بهینه‌سازی بی‌قید و شرط به صورت عددی مورد استفاده قرار می‌گیرد. این دستور براساس الگوریتم‌های بهینه‌سازی غیرخطی شماره‌ای که به صورت اتوماتیک انتخاب و اعمال می‌شود، عملکرد بهینه‌سازی را انجام می‌دهد.

الگوریتم به طور پیش‌فرض الگوریتم Quasi-Newton است. این الگوریتم یک روش بهینه‌سازی برای به دست آوردن مقادیر کمینه یک تابع است. الگوریتم‌های متنوعی در این دستور برای حل مسائل متفاوت ارائه شده است.

برای استفاده از این دستور، اولین قدم این است که تابع هدف خود را بنویسید (تابعی که می‌خواهید برای آن کمینه بیابید) و نقطه شروع را تعیین کنید. سپس دستور ‘fminunc’ را با انتقال تابع هدف و نقطه شروع به آن، صدا بزنید.

در زیر مثالی برای استفاده از دستور fminunc در MATLAB آمده است:

				
					% تعریف تابع هدف (مثال: تابع f(x) = x^2 + 3*x + 5)
fun = @(x) x^2 + 3*x + 5;

% تعیین نقطه شروع
x0 = 0;

% استفاده از دستور fminunc
[x_min, fval] = fminunc(fun, x0);

disp(['Minimum found at x = ', num2str(x_min)]);
disp(['Minimum value f(x) = ', num2str(fval)]);

در این کد، یک تابع هدف ساده تعریف شده و سپس دستور fminunc با استفاده از این تابع هدف و نقطه شروع صدا زده شده است. در نهایت، مقدار کمینه و نقطه مربوطه به کمینه یافته شده نمایش داده می‌شود.

دستور fminimax:

دستور fminimax در جعبه ابزار بهینه‌سازی متلب برای حل مسائل بهینه‌سازی دو معیاره (Two-objective optimization) استفاده می‌شود. این دستور در جستجوی جواب بهینه برای یک مسئله بهینه‌سازی با دو معیاره است و تلاش می‌کند یک توازن بین دو معیار یا هدف موردنظر ایجاد کند.

هدف اصلی این دستور این است که به کاربر کمک کند تا به یک مجموعه نتایج بهترین‌ها (پارتو) به عنوان جواب پایانی برای مسئله بهینه‌سازی دو معیاره دست یابد.

برای مثال، اگر فرض کنیم که می‌خواهیم تابعی را که دو معیاره است بهینه‌سازی کنیم، کد زیر نمونه‌ای از یک حلقه بهینه‌سازی دو معیاره در متلب است:

				
					% تعریف تابع بهینه‌سازی دو معیاره
fun = @(x)[x(1)^2 + x(2)^2, (x(1)-1)^2 + x(2)^2]; % مثال: (x^2 + y^2, (x-1)^2 + y^2)

% فراخوانی دستور fminimax برای بهینه‌سازی
rng default; % مقداردهی اولیه تولید اعداد تصادفی
lb = [-5, -5]; % حد پایین مقادیر متغیرها
ub = [5, 5]; % حد بالای مقادیر متغیرها
options = optimoptions('fminimax', 'Display', 'iter'); % تنظیم گزینه‌های دستور بهینه‌سازی
[x,fval,exitflag,output] = fminimax(fun,[0,0],[],[],[],[],lb,ub,[],options);
disp('Optimization results:')
disp(['x: ', num2str(x)]);
disp(['fval: ', num2str(fval)]);
disp(['Exitflag: ', num2str(exitflag)]);
disp(['Iterations: ', num2str(output.iterations)]);

در این مثال، تابع fun دو معیاری تعریف شده است که از طریق ورودی x به دست معیارهای اول و دوم خود می‌رسد. سپس تابع fminimax فراخوانی شده و جواب بهینه و مقدار معیارهای بهینه‌سازی، خروجی و تعداد تکرارها به کاربر نمایش داده می‌شود.

این دستور به کمک الگوریتم‌های بهینه‌سازی با قابلیت پذیرفتن مسائل بهینه‌سازی دو معیاره حل مسائل مختلفی مانند تعادل میان دو هدف، جستجوی پارتو بهینه و … را فراهم می‌کند. 

دستور findindex:

دستور findindex در جعبه ابزار بهینه‌سازی متلب برای جستجوی اندیس‌های مقادیر مشخص در یک آرایه داده شده استفاده می‌شود. این دستور اندیس‌هایی را برمی‌گرداند که مقادیر مورد نظر پیدا شده‌اند.

برای مثال، فرض کنید یک آرایه داده به نام \{A} را داریم و می‌خواهیم اندیس‌های مقادیر منفی آن را پیدا کنیم. در اینجا با استفاده از findindexمی‌توانیم این کار را انجام دهیم.

				
					A = [2, -5, 3, -7, 1, -9, 4];
indices = findindex(A<0);
disp(indices);

در این کد، ابتدا یک آرایه داده به نام \{A} با اعداد مختلف تعریف شده است. سپس با استفاده از \{findindex}، اندیس‌های مقادیر منفی آرایه \texttt{A} را پیدا کرده و در متغیر \{indices} ذخیره می‌کنیم. در نهایت با استفاده از \{disp}، این اندیس‌ها چاپ می‌شوند.

به این شکل، می‌توانید از دستور \{findindex} برای جستجوی اندیس‌های مقادیر خاص در آرایه‌ها استفاده کنید.

دستور infeasibility:

دستور infeasibility در جعبه ابزار بهینه‌سازی MATLAB چک می‌کند که آیا یک مسئله بهینه‌سازی دارای راه‌حل اجمالی (feasible solution) می‌باشد یا خیر. به عبارت دیگر، اگر یک مسئله بهینه‌سازی دارای راه‌حل قانونی (feasible solution) باشد، مقدار خروجی تابع infeasibility صفر است و در غیر این صورت مقدار آن مثبت خواهد بود که نشان دهنده نقض محدودیت‌های مسئله می‌باشد.

برای بررسی بهترین حالت، می‌توانید یک مثال ساده از استفاده از infeasibility را این‌گونه در نظر بگیرید:

				
					% تعریف مسئله
A = [1, 2];
b = 7;
lb = [0, 0];
ub = [5, 5];

% تعریف رسیدن به مسئله بهینه‌سازی
x_feasible = [3, 3];

% چک کردن راه‌حل اجمالی
infeas = infeasibility(x_feasible, A, b, [], [], [], [], lb, ub);

if infeas == 0
    disp('راه‌حل اجمالی معتبر است.');
else
    disp(['راه‌حل اجمالی نامعتبر است. مقدار نقض محدودیت: ', num2str(infeas)]);
end

در این مثال، ما یک مسئله ساده بهینه‌سازی با محدودیت‌ها و حدود متغیرها تعریف کرده‌ایم و سپس یک راه‌حل اجمالی را نیز تعریف کرده و با استفاده از دستور infeasibility میزان اجمالی بودن راه‌حل را بررسی می‌کنیم. در پایان یک پیام در خروجی چاپ می‌شود که نشان دهنده وضعیت راه‌حل اجمالی به دست آمده است.

بله متلب دستور lsqlin یکی از دستورات مورد استفاده در جعبه ابزار بهینه‌سازی می‌باشد. این دستور برای حل مسائل بهینه‌سازی خطی با محدودیت‌های خطی استفاده می‌شود. این دستور معمولا برای بهینه‌سازی مسائلی که به شکل زیر تعریف شوند استفاده می‌شود:

\[

\min \: c^Tx

\]

\[

\text{subject to: } \: A \cdot x \leq b \quad \text{و} \quad \text{LB} \leq x \leq \text{UB}

\]

 

که در اینجا:

– \( x \) برداری است که باید بیشینه‌سازی شود.

– \( c \) بردار ضرایب تابع هدف است.

– \( A \) ماتریس ضرایب محدودیت‌ها است.

– \( b \) بردار نسبت‌های محدودیت‌ها است.

– \(\text{LB} \) و \(\text{UB} \) محدوده‌های بردار \( x \) هستند.

 

برای استفاده از این دستور در متلب، یک مثال ساده را برایتان تعریف می‌کنم:

 

\[

\text{مثال:}

\]

 

جهت حل مسئله بهینه‌سازی زیر با دستور lsqlin:

 

\[

\min \: -x_1 – 2x_2

\]

 

\[

\text{subject to:}

\]

 

\[

3x_1 + 4x_2 \leq 12

\]

 

\[

0 \leq x_1 \leq 3, \quad 0 \leq x_2 \leq 2

\]

کد متلب:

این کد، بهینه‌سازی مسئله مورد نظر را انجام می‌دهد و بردار بهینه \( x \) را برمی‌گرداند.

				
					c = [-1; -2];
A = [3, 4];
b = 12;
LB = [0; 0];
UB = [3; 2];

x = lsqlin([],c,A,b,[],[],LB,UB)

دستورmldivide:

دستور متلب (mldivide) یا همان backslash operator یکی از دستورات مهم ماتریسی در متلب است که برای حل معادلات خطی به صورت بهینه استفاده می‌شود. این دستور یک روش عددی بهینه برای حل معادلات خطی به صورت Ax = B را ارائه می‌دهد، که در آن A یک ماتریس مربعی است و B یک ماتریس یا بردار است.

وقتی از این دستور استفاده می‌کنید، متلب از الگوریتم‌های بهینه‌سازی و روش‌های جبر خطی برای حل معادله Ax = B استفاده می‌کند. اگر ماتریس A معکوس داشته باشد، این دستور به صورت دقیق معکوس ماتریس A را محاسبه می‌کند و به راحتی نتیجه x را به دست می‌آورید.

در صورتی که ماتریس A معکوس نداشته باشد یا حتی A مربعی نباشد، متلب از الگوریتم‌های بهینه‌سازی مانند روش QR یا روش LU برای حل معادله استفاده می‌کند.

برای مثال، فرض کنید ما یک سیستم معادلات خطی زیر داریم:

\[2x + 3y = 7\]
\[4x – y = 5\]

با استفاده از دستور mldivide، می‌توانیم این سیستم معادلات را حل کنیم. در زیر یک کد متلب به عنوان مثال برای حل این سیستم معادلات آورده شده است:
				
					A = [2, 3; 4, -1];
B = [7; 5];
X = A \ B;
disp(X);

این کد مقادیر x و y متناسب با سیستم معادلات را حساب می‌کند و نمایش می‌دهد.

با اجرای این کد متلب، شما باید نتیجهٔ x = 2 و y = 1 را ببینید که به عنوان جواب سیستم معادلات خطی داده می‌شود.

دستور optimwarmstart:

دستور optimwarmstart در Matlab یک ویژگی اضافی است که بهینه‌سازی فاکشن چندباره (MO) را تقویت می‌کند. این دستوره اجازه می‌دهد تا نقطه ابتدایی بهینه‌سازی از یک فراخواننده بهینه‌سازی به فراخواننده بعدی منتقل شود، که معمولاً بهبود عملکرد بهینه‌سازی را به ارمغان می‌آورد.

این ویژگی به خصوص برای انتقال نقطه بهینه‌ی سازگار از یک فراخواننده بهینه‌سازی به یک فراخواننده دیگر یا برای بازگشت به جستجو در یک نقطه‌ی بهینه در مکان مربوطه مفید است. این عملکرد برای مسائلی که شامل چندین هسته بهینه‌سازی یا مسائل چندگانه بهینه‌سازی هستند وقتی نقطه بهینه‌سازی مکانی یک تابع هدف دیگری استفاده می‌شود.

به عنوان مثال، برای یک مسئله‌ی بهینه‌سازی، مثالی از استفاده از optimwarmstart در Matlab به شکل زیر می‌باشد:

				
					% تعریف تابع هدف
fun = @(x) (x(1)-2)^2 + (x(2)-3)^2;

% تعریف پروبلم بهینه‌سازی
problem = createOptimProblem('fmincon','x0',[0 0],'objective',fun,'Aineq',   [1 1],'bineq',1);

% یافتن بهینه با استفاده از optimproblem و نقطه ابتدایی
[x,fval] = run(gs,problem);

در این مثال، تابع هدف یک تابع ساده مربع فاصله به نام fun است. پس از آن، یک مسئله‌ی بهینه‌سازی برای تابع fun با استفاده از createOptimProblem ایجاد می‌شود. سپس نقطه‌ی ابتدایی برای بهینه‌سازی تعیین می‌شود و سپس با استفاده از run، بهینه‌سازی انجام می‌شود.

با استفاده از این دستور، امکان دارید نقطه‌ی بهینه‌ی سازگار از یک نقطه بهینه‌سازی به نقطه دیگر منتقل کنید، که این موضوع می‌تواند به بهبود عملکرد بهینه‌سازی شما کمک کند.

دستور lsqcurvefit:

دستور lsqcurvefit در جعبه ابزار بهینه‌سازی متلب برای یافتن بهترین پارامترهای یک تابع به شکل منطقی بر اساس داده‌های تجربی استفاده می‌شود. این دستور از روش کمترین مربعات برای تطابق تابع مدل با داده‌های ورودی استفاده می‌کند. 

معمولاً lsqcurvefit برای حل مسائل پیش‌بینی، تنظیم مدل، بازسازی سیگنال و حل مسائل سازگاری استفاده می‌شود. این دستور بهینه‌سازی بیشترین شباهت و اشتراک با دستور lsqcurvefit دارد که بعضی از پارامترهای ورودی آن‌ها به شکل مشابهی هستند.

در زیر یک مثال از استفاده از lsqcurvefit در متلب همراه با توضیح آن آورده شده است:

				
					% تعریف تابع مدل که می‌خواهیم پارامترهای آن را تخمین بزنیم
model = @(params, x) params(1) * exp(-params(2) * x);

% تولید داده‌های تصادفی برای مثال
x_data = 0:0.2:10;
y_data = 2.5 * exp(-0.3 * x_data) + 0.1 * randn(size(x_data));

% حدس اولیه برای پارامترها
initial_guess = [3, 0.2]; 

% استفاده از lsqcurvefit برای تخمین پارامترها
estimated_params = lsqcurvefit(model, initial_guess, x_data, y_data);

% چاپ نتایج تخمینی
disp(['Estimated Parameters: ', num2str(estimated_params)]);

% ترسیم نمودار مدل تخمین زده شده
x_fit = 0:0.2:10;
y_fit = model(estimated_params, x_fit);
plot(x_data, y_data, 'bo', x_fit, y_fit, 'r-');
legend('Data Points', 'Fitted Curve');

این کد یک تابع نمونه مدل با یک پارامتر \(a\) و یک پارامتر \(b\) را تعریف کرده و سپس با استفاده lsqcurvefit این پارامترها را براساس داده‌های تصادفی تعیین می‌کند. سپس نتایج تخمینی را چاپ کرده و نمودار مدل تخمین زده شده را برای بررسی نمایش می‌دهد.

دستور lsqnonlin:

دستور lsqnonlin در محیط نرم‌افزار MATLAB در جعبه‌ابزار بهینه‌سازی قرار دارد و برای حل مسائل بهینه‌سازی غیرخطی با معادلات غیرخطی، به ویژه مسائل بهینه‌سازی بدون محدودیت نقطه‌ی بهینه (unconstrained optimization) به کار می‌رود.

این دستور برای حل مسائل کمینه‌سازی یک تابع دسته‌ای (multivariate) چندمتغیره‌ی بی‌قیدی مثل مسئلهٔ کمینه‌سازی مربعات کلستر (least squares minimization) به‌کار می‌آید. به‌عبارت دیگر، وقتی ما یک مجموعه داده داریم و سعی داریم به یک تابعی که به این داده‌ها نزدیک‌ترین تطابق را داشته باشد، مدل کنیم، می‌توان از این دستور برای یافتن پارامترهای مناسب این تابع استفاده کرد.

یک مثال ساده در مورد استفاده از lsqnonlin می‌تواند در مسئلهٔ تطابق داستان با داده‌ها باشد. برای مثال، فرض کنید که دو تابع خطی y = ax + b و y = cx + d وجود دارند که این دو تابع باید به یک مجموعه داده داده شده بتوانند تطابق دهند. ما می‌توانیم از دستور lsqnonlin برای یافتن مقادیر مناسب پارامترهای a، b، c و d استفاده کنیم تا تطابق بهینهٔ این دو تابع با داده‌ها بدست آید.

کد زیر یک مثال ساده از استفاده از دستور lsqnonlin را نشان می‌دهد:

				
					% داده‌ها
x = 0:0.1:10;
y = 2 * x + 3 + randn(size(x)); % اضافه کردن نویز به داده‌ها

% تعریف تابع مورد نظر
fun = @(params, x) params(1) * x + params(2);

% حدس اولیه برای پارامترها
initialGuess = [1, 1];

% استفاده از lsqnonlin برای یافتن پارامترهای بهتر
params = lsqnonlin(@(params) fun(params, x) - y, initialGuess);

% نمایش نتایج
disp(['مقدار a: ', num2str(params(1))]);
disp(['مقدار b: ', num2str(params(2))]);

این کد ابتدا داده‌ها را تعریف کرده، سپس یک تابع کمینه‌سازی اعدا شود و در نهایت از lsqnonlin برای یافتن مقادیر بهینهٔ پارامترهای a و b استفاده می‌کند.

این مثال با فرض دو تابع خطی است، اما lsqnonlin می‌تواند برای مسائل بهینه‌سازی پیچیده‌تر نیز استفاده شود.

دستور eqnproblem:

دستور eqnproblem در جعبه ابزار بهینه‌سازی متلب یک موتور بهینه‌سازی برای حل مسائل بهینه‌سازی ریاضی است. این دستور برای حل مسائل بهینه‌سازی با استفاده از توابع هدف و محدودیت‌های متنوع و مختلف کاربرد دارد.

برای استفاده از دستور eqnproblem، ابتدا باید یک ساختار (structure) به نام problem تعریف کرده و داده‌های لازم برای مساله بهینه‌سازی را در آن قرار دهید. سپس می‌توانید از توابع بهینه‌سازی برای حل مساله استفاده کنید.

در زیر یک مثال ساده از استفاده از دستور eqnproblem در متلب آورده شده است. در این مثال، یک مساله بهینه‌سازی ساده به صورت یک تابع هدف و بدون محدودیت تعریف شده است. مساله این است که باید یک عبارت ریاضی را بهینه‌سازی کنیم.

				
					% تعریف تابع هدف
fun = @(x) (x-2)^2 + 1;

% تعریف ساختار مساله بهینه‌سازی
problem.objective = fun;
problem.x0 = 0; % شرط اولیه برای بهینه‌سازی

% حل مساله بهینه‌سازی
result = eqnproblem(problem);

% نمایش نتیجه
disp(['مقدار بهینه تابع هدف: ' num2str(result)]);

در این مثال، ابتدا یک تابع هدف ساده به نام fun تعریف شده است که طبق فرمول داده شده، مقدار تابع را برمی‌گرداند. سپس یک ساختار problem ایجاد شده و تابع هدف و شرط اولیه برای بهینه‌سازی در آن قرار داده شده است. سپس با فراخوانی دستور eqnproblem(problem)، مساله بهینه‌سازی حل شده و نتیجه در result ذخیره شده و در نهایت مقدار بهینه تابع هدف چاپ می‌شود.

دستور optimset:

دستور optimset در MATLAB، جهت تنظیم تنظیمات مختلف برای دستورات بهینه‌سازی MATLAB مانند fmincon, fminunc, lsqnonlin, و غیره استفاده می‌شود. این دستور امکان تنظیم پارامترهای مختلف بهینه‌سازی مثل تعداد حداکثر تکرارها، معیارهای توقف، نوع الگوریتم بهینه‌سازی و … را فراهم می‌کند.

برای استفاده از دستور optimset، شما می‌توانید تنظیمات مختلفی را برای بهینه‌سازی مشخص کنید. به عنوان مثال، می‌توانید تعداد حداکثر تکرارها را مشخص کنید، یا تعیین کنید که الگوریتم باید یک موقعیت اولیه خاص داشته باشد و …

در زیر یک مثال ساده از استفاده از optimset در MATLAB را برای تنظیم تعداد حداکثر تکرارها بررسی می‌کنید:

				
					% تنظیم تعداد حداکثر تکرارها برای بهینه‌سازی
options = optimset('MaxIter', 1000);

% فراخوانی دستور بهینه‌سازی fmincon با استفاده از تنظیمات تنظیم شده
[x, fval] = fmincon(@myfun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, @mycon, options);

در این کد، optimset(‘MaxIter’, 1000) تعداد حداکثر تکرارها را برای دستور بهینه‌سازی مشخص می‌کند. سپس تابع fmincon با استفاده از تنظیمات تنظیم شده صدا زده می‌شود.

دستور fsolve:

دستور fsolve در MATLAB از جعبه ابزار بهینه‌سازی استفاده می‌کند و برای حل معادلات غیرخطی و سیستم‌های معادلات غیرخطی به‌کار می‌رود. این دستور از روش‌های عددی برای یافتن ریشه‌های معادلات استفاده می‌کند و معمولاً با استفاده از روش‌های iterative (تکراری) مانند روش Newton-Raphson یا روش Broyden به حل مسئله می‌پردازد.

مثال:

فرض کنید می‌خواهیم معادله زیر را حل کنیم:

\[ x^2 + 3x – 4 = 0 \]

کد MATLAB برای استفاده از دستور fsolve به صورت زیر است:

				
					% تعریف تابع به صورت یک تابع متناهی 
fun = @(x) x^2 + 3*x - 4;

% یافتن ریشه با استفاده از fsolve
x0 = 0; % حدس اولیه برای ریشه
x = fsolve(fun, x0);
disp(x);

در این مثال، ابتدا تابع fun تعریف شده است. سپس با فراخوانی دستور fsolve و استفاده از حدس اولیه x0، مقدار ریشه معادله محاسبه و نمایش داده می‌شود.

این دستور می‌تواند در حل مسائل بهینه‌سازی، مسائل مهندسی و فیزیکی و حل سیستم معادلات غیرخطی کمک کند. اما برای استفاده موثر از آن، نیاز به انتخاب درست حدس اولیه و توجه به رفتار تابع مسئله است.

دستور fzero:

دستور fzero در جعبه ابزار بهینه‌سازی متلب برای حل معادلات غیرخطی یک متغیره استفاده می‌شود. بطور کلی، این دستور جستجوی عددی برای پیدا کردن ریشه یا جواب معادله‌ای غیرخطی به عنوان ورودی می‌پذیرد. این جستجو بر اساس روش‌های عددی مختلفی انجام می‌شود تا مقداری برای متغیر معادله بدست آید که آن‌را برای تابع ورودی صفر می‌کند.

برای استفاده از دستور fzero، ابتدا باید یک تابع به عنوان ورودی به آن ارسال شود که معادله‌ی مورد نظر را تعریف می‌کند. این تابع باید یک عدد یا آرایه‌ی اسکالر را بازگرداند که تا حد ممکن به صفر همگرا باشد.

در زیر یک مثال از استفاده از دستور fzero به همراه توضیح آن آمده است:

				
					% تعریف تابع معادله
myFunction = @(x) x^2 - 4;

% یافتن ریشه معادله با استفاده از fzero
initialGuess = 1.5; % حدس اولیه برای مقدار x
root = fzero(myFunction, initialGuess);

% نمایش خروجی
disp(['ریشه معادله: ', num2str(root)]);

در این کد، ابتدا یک تابع به نام myFunction تعریف شده است که معادله x^2 – 4 را نشان می‌دهد. سپس با فراخوانی fzero با ارسال این تابع و یک حدس اولیه برای ریشه، مقدار ریشه معادله محاسبه شده و نمایش داده می‌شود.

دستور lsqlin:

دستور lsqlin یکی از دستورات قدرتمند موجود در جعبه ابزار بهینه‌سازی متلب است که برای حل مسائل بهینه‌سازی خطی (Linear Optimization) با محدودیت های نرم‌افزاری (Soft Constraints) استفاده می‌شود. این دستور بهینه‌سازی مقادیر یک متغیر وابسته را با توجه به یک تابع هدف خطی و یک مجموعه از محدودیت‌های خطی و نرم‌افزاری بهینه می‌سازد.

استفاده از دستور lsqlin برای حل مسائل بهینه‌سازی مسائلی که شامل تابع هدف و محدودیت‌های خطی و نرم‌افزاری هستند مناسب می‌باشد. این دستور به صورت زیر عمل می‌کند:

1. مساوی: این دستور اطمینان می‌یابد که اشتراک مقادیر پیوسته و توانایی محاسبه مقادیر غیرپیوسته را تأمین کند.

2. تعداد محدودیت‌های نرم‌افزاری: این دستور تعداد محدودیت‌های نرم‌افزاری غیرخطی را حداقل می‌کند.

3. بهینه‌سازی: این دستور تابع هدف با معیارهای مشتق‌پذیر و نامشتق‌گرا بهینه‌سازی می‌کند.

برای روشن‌تر شدن موضوع، در زیر یک مثال کد MATLAB برای استفاده ازدستور lsqlin جهت حل یک مسئله بهینه‌سازی خطی آمده است:
				
					% تعریف ماتریس A و بردار b
A = [1, 2; 3, 4; 5, 6];
b = [10; 24; 36];

% تعریف ماتریس محدودیت‌های ضرایب عددی و ماتریس محدودیت‌های عددی
lb = zeros(2, 1);  % حد پایین برای x
ub = [Inf; Inf];   % حد بالا برای x

% تعریف ماتریس تابع هدف و ماتریس جواب
f = [1; 1];
x = lsqlin(A, b, [], [], [], [], lb, ub, [])

توضیح کد بالا:

1. در اینجا ماتریس A و بردار b برای محاسبه ضرایب بهینه x تعریف شده‌اند.
2. ماتریس محدودیت‌ها lb و ub برای تعیین حد پایین و حد بالا متغیرهای بهینه x مشخص شده‌اند.
3. با فراخوانی lsqlin با ارائه ماتریس A، بردار b و محدودیت‌ها، ضرایب بهینه x بر اساس تابع هدف خطی محاسبه و نمایش داده می‌شود.

دستور lsqnonlin:

دستور lsqnonlin در محیط نرم‌افزار MATLAB از جعبه‌ابزار بهینه‌سازی برای حل مسایل بهینه‌سازی بدون قید برای توابع غیرخطی استفاده می‌شود. این دستور برای رسیدن به جواب بهینه، یعنی پیدا کردن مقادیر متغیرها به‌صورتی که تابع هدف خطای کمترین مقدار ممکن را داشته باشد، به کمک روش‌های بهینه‌سازی غیرخطی عمل می‌کند.

روند کلی استفاده از lsqnonlin به صورت زیر است: 

1. تعریف یک تابع هدف که می‌خواهید آن را بهینه کنید. این تابع هدف باید یک تابع غیرخطی از متغیرهای مسئله باشد.

2. تعریف یک حدس اولیه برای مقادیر متغیرها.

3. فراخوانی تابع lsqnonlin با پارامترهای مربوطه، که بین آن‌ها تابع هدف، حدس اولیه متغیرها و محدودیت‌های ممکن برای متغیرها قرار می‌گیرد.

4. در پایان، مقادیر بهینه برای متغیرها و مقدار بهینه تابع هدف برگردانده می‌شوند.

در زیر یک نمونه کد MATLAB برای مثالی از استفاده از lsqnonlin آورده شده است:
				
					% تعریف تابع هدف
fun = @(x) x(1)^2 + x(2)^2;

% حدس اولیه برای مقادیر متغیرها
x0 = [1, 1];

% فراخوانی تابع lsqnonlin
options = optimoptions('lsqnonlin','Display','iter');
[x_opt, fval] = lsqnonlin(fun,x0,[],[],options);

disp('مقادیر بهینه:');
disp(x_opt);
disp('مقدار بهینه تابع هدف:');
disp(fval);

در این کد، تابع هدف یک معادله مربعاتی ساده به شکل مجموع دو مربع متغیرها است. پس از اجرای کد، MATLAB بهینه‌سازی را انجام داده و مقادیر بهینه متغیرها را به ما برمی‌گرداند.

اگر نیاز به حل یک مسئله بهینه‌سازی خاص تر با استفاده از lsqnonlin دارید، می‌توانید تابع هدف مسئله و حدود متغیرها خود را تعریف کرده و از این دستور برای رسیدن به جواب بهینه استفاده کنید.

الگوریتم های فراابتکاری و بهینه‌سازی در متلب

مطالعه موردی:

برای نمونه، فرض کنید که می خواهیم یک مسئله بهینه سازی را با استفاده از فراابتکاری و بهینه سازی در متلب حل کنیم. در این مسئله، هدف ما بهینه سازی یک تابع فرضی است که باید حداقل یک مینیمم محلی را پیدا کند. با استفاده از الگوریتم ژنتیک و تعدادی پارامتر مشخص، می توانیم بهینه سازی تابع را انجام دهیم و نتایج را تحلیل کنیم.

نتیجه گیری:

به طور خلاصه، فراابتکاری و بهینه سازی در متلب، ابزارهای قدرتمندی هستند که به ما کمک می کنند تا مسائل پیچیده را به صورت بهینه حل کنیم. از آنجایی که این دو روش به طور گسترده ای در صنایع مختلف استفاده می شوند، آشنایی با راهنمای فراابتکاری و بهینه سازی در متلب برای هر کسی که در زمینه های مهندسی و علوم کامپیوتر فعالیت می کند، ضروری است.
				
					value = get(handle, 'PropertyName');

				
			
				
					value = get(handle, 'PropertyName');

ادامه مطلب

نوشته قبلی

دستورات مهم تحلیل سیگنالی ویولت
نوشته بعدی

آموزش روش های استخراج ویژگی در متلب